唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. ”诗中隐含着一个有趣的数学问题。
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?
从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.【摘自百度百科】
要解决上面的问题就需要用到化折为直的思想,本文利用这个思想解决勾股定理中的最短路径问题。
知识储备
1、基本原理:两点之间,线段最短。
2、基本模型图:
方法总结
1、化曲(折)为直
①平面内:将军饮马模型直接应用(上面的图)
②立体图形:展开为平面图形进行求解
?长方体背景——分类讨论
?圆柱体背景
2、平移法
【例题分析】
例1、长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从A点爬到B点.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 .
分析:将长方体展开进行分类讨论
例2、我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺?
【分析】
例3、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,地面周长为18cm,在杯内离杯底的点4cm处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜜蜂相对的点处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______________
分析:
勾股定理是后面几何学习的基础,上面的解题思路大家可以在练习题中反复实践,有问题可留言哦。
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